導入

どーも!!ひいらぎです!!

今回はツイッター内で質問が多かった数学の絶対値について解説していこうと思います!

また、以前中学範囲からやり直すためのおススメ参考書について解説した記事がありますので、よければ読んで見てください!
中学レベルのおススメ参考書


絶対値って何?

ではまず絶対値とは何かということについて調べていきましょう!ではまずWikipedia大先生が言うには
"数学における実数 x の絶対値(ぜったいち、absolute value)または母数(ぼすう、modulus|x| は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。"
です!(Wikipedia出典)
意味がよくわかりませんね。

しかし、受験においてはこのような難しい意味で絶対値を理解する必要はありません!!

受験において絶対値をどのように理解すればよいかというと
0からどれだけ離れているか(0との距離)です!

図を使った解説

おそらく絶対値が苦手な方は0からどれだけ離れているかといってもあまり理解できなかったのではないでしょうか??

なので今から、図を使って分かりやすく解説していきたいと思います!例としてl3lについて数直線を使った解説をします! まず答えからいうと、l3l=+3,-3です。先ほどの0との距離という視点で考えてみましょう!下の数直線において、+3と0との距離は3ですね?では-3と0との距離はどうでしょうか??-3でしょうか?

この数直線のメモリを定規のメモリのようにして考えてみると(cm)、-3から0との距離も+3から0との距離と同じく3cmですよね??これを数式にしたものがl3l=+3,-3ということです!
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次はもう少し発展させて中学の絶対値問題へと発展させていきましょう!

以下はy=lx-3lのグラフです。
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なぜかx軸(y=0)の部分で急にカクっと折れています、これはどういうことでしょうか?絶対値がない場合を考えてみましょうy=x-3という一次関数においてx=1のときy=-2,x=2のときy=-1となります。ここでy=-2,y=-1というところに注目しましょう!y=lx-3lに話を戻すとx=1のとき、y=l1-3l=l-2l=2,同様にx=2のときy=l-1l=1というように絶対値のついた関数はy=0以下の部分で本来の関数とx軸に関して対称になるつまりこの関数ではyが0より小さいとき(xが3より小さいとき)、y=-x+3になります!このような作業を絶対値を外すといいます!

そして絶対値の問題は絶対値を外す作業、つまり場合分けは絶対値問題をとくために必ずしなければいけない作業なのです!!

高校数学の絶対値

それでは次に高校数学の絶対値の問題について解説していきます!(中学生の方は飛ばしてもらっても大丈夫です)

二次関数や三次関数の絶対値は先ほどのy=0以下の部分がx軸に関して対称であるということを踏まえれば大丈夫だと思います!

高校で出てくる絶対値問題には次のようなものがあります!

lx+3l+lxl=7 

これは絶対値付きの方程式と呼びます。

これは絶対値がついていなければ非常に簡単なのですが絶対値がついていることによって非常にややこしくなります!先ほどの解説を踏まえて場合分けすると、lx+3lは、xが-3より小さいときは-x-3,-3以上の時はx+3となります、一方lxlに関して、xが0より小さいときは-x,0以上の時はxとなります!

しかしこれだけではまだ足りないです!なぜかというと範囲が重複しているからです!どういうことかというと2つの式をxが0より大きいかどうか、xが-3より大きいかどうかの2つの基準で場合分けしていきました。このまま回答してしまうと採点者からxが-3よりは大きいけど0よりは小さいときはどうなるんだ?と質問されます!!少し説明しづらいので、写真にまとめました!

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つまりxが-3と0の間にある時の場合分けもしなければいけないということです!

そうすると
①xが-3より小さいときlx+3l+lxl=7→-x-3+-x=7  x=-5(xが-3より小さいという条件に合致)

②xが-3以上で0より小さいとき、lx+3l+lxl=7→x+3+-x=7 3=7となり不適

③xが0以上のとき、lx+3l+lxl=7→x+3+x=7 x=2 (xが0より大きいという条件に合致)


というわけでこの問題の答えはx=-5,2の2つということになります!


書面で伝えきれるのはここまでです!もしこれでも理解できなければ学校の先生や成績が高い人に聞いてみましょう!

まとめ
今回は絶対値の解き方について解説しました!いわゆる数弱の人からしては絶対値は数学の難関となるので、まずは簡単な中学範囲からでもよいので絶対値を理解していき、偏差値アップを狙いましょう!!